Mathematik - Partielle Integration

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Partielle Integration

Kurzzusammenfassung

In dieser GFS aus der Jahrgangsstufe 1 (11Klasse) geht es rund um die Partielle Integration. Enthalten ist: Handout (mit Herleitung, Anwendung, Rechenbeispiel, Allgemeines) 6Folien (Gliederung, Herleitung, Anwendung, Rechenbeispiel) Die GFS dauerte 4

Fachbereich: Mathematik
Sprache: Deutsch
Wörter: 2500
Note: 12

Partielle Integration

Handout J1/ 15.04.2015

in Grenzen einsetzen
? ((? ? ?)?(?))??
?
?

Integration von Produkten - Partielle
Integration
Was ist partielle Integration?
Die partielle Integration "Produktintegration" ist eine M?glichkeit, in der Integralrechnung
bestimmte Integrale zu berechnen und Stammfunktionen zu bestimmen.
Herleitung
M?chte man ein Produkt einer Funktion integrieren wie z.B. f= g ? h, wendet man die Partielle
Integration an.
Normalerweise nimmt man an, dass bei der Bestimmung der Stammfunktion hierbei vorgegangen
wird, wie bei einer Summe von Funktionen. (Bei einer Summe von Funktionen wie f(x) = x+??, bildet
man die Stammfunktion, indem man zu jedem Summanden eine Stammfunktion bildet und diese
miteinander addiert --> F(x) = 0,5x?+e^x.) Wendet man dieses Verfahren nun bei einem Produkt von
Funktionen an, w?rde das folgenderma?en aussehen: f(x) = x ? ?? --> F(x)=0,5x? ? ??
Leitet man F(x) = 0,5x? ? ?? ab, kommt allerdings F'(x) = x ? ?? + 0,5x? ? ?? heraus. Dieses Ergebnis
ist falsch, denn es sollte eigentlich wieder F'(x) = x ? ?? herauskommen.

Da diese Berechnung falsch ist, orientiert man sich an der Ableitungsregel f?r Produkte von
Funktionen. Man wendet diese nun "r?ckw?rts" an.
f(x) = g(x) ? h(x)


(g ? h)'(x) = (g(x))' ? h(x) + g(x) ? (h(x))' |- g(x) ? (h(x))'
(g(x))' ? h(x) = (g ? h)'(x) - g(x) ? (h(x))'



? (??(?) ? ?(?))??
?
? = ? ((? ? ?)?(?))??
?
? - ? (?(?) ? ??(?))??
?
?
? (??(?) ? ?(?))??
?
? = [?(?) ? ?(?)] ?? (?(?) ? ??(?))??
?
?

M?chte man nun mit dieser Formel ein Integral dieser Form (? ?(?) ? ?(?)?? = ? (? ? ??)??)
?
?
?
?
bestimmen, muss man einfach die Faktoren u(x)=x und v(x)=??, den Faktoren g'(x) und h(x) aus der
ermittelten Formel zuordnen. Dabei muss darauf geachtet werden, dass man die Werte so einsetzt,
dass auf der rechten Seite des Therms nicht erneut ein Integral mit einem Produkt einer Funktion
entsteht. Daher ordnet man in diesem Beispiel auch den Faktor u(x)=x dem Faktor h(x) zu und somit
ist das rechte Integral in der Formel berechenbar. Anschlie?end m?ssen nur noch die jeweiligen
Grenzen eingesetzt und die Integrale aufgel?st werden.

ableiten Produktregel
umstellen
Beide Seiten integrieren
Handout J1/ 15.04.2015


Beispiel

geg. : ?(?) = ? ? ?? ? ?(?) ? ?(?)?? = ? (? ? ??)??
?
?
?
?


[...]

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